Uma das coisas mais belas da matemática é que, dados alguns axiomas, conseguimos provar muitas coisas. Matematicamente falando, há várias formas de se provar que algo é verdadeiro ou falso. Uma delas é a "prova por contradição" ou "reductio ad absurdum".
Funciona da seguinte forma. você faz uma suposição e procura derivar dela algum absurdo lógico. Por exemplo, você supõe que a proposição A é verdadeira e chega à conclusão de que 2 = 1, o que é claramente um absurdo. Logo, A é falsa.
Quer um exemplo mais concreto? Provemos, então, que a raiz quadrada de 2 (aqui denotada por 2*) é um número irracional, ou seja, não pode ser escrita como uma fração de dois inteiros (ou seja, não é racional).
Suponhamos que 2* é racional. Ou seja, suponhamos que 2* pode ser escrito como x/y, com x e y sendo números inteiros. Mais ainda, x e y são primos entre si, isto é, o único divisor comum que eles têm é 1. Vamos escrever matematicamente o que estamos supondo.
2* = x/y, com x e y primos entre si
Agora vem a parte de procurar alguma inconsistência lógica. Façamos o seguinte:
2* = x/y;
(2*)² = x²/y²
2 = x²/y²
Por conseguinte,
x² = 2y²
Note que x² é um múltiplo de 2, ou seja, um número par. Se x² é par, então x também é par. Ou seja x por ser escrito sob a forma x = 2n, sendo n um número natural maior que zero.
Assim,
x² = (2n)² = 4n²
x² = 4n²
Lembre-se que x² = 2y². Portanto,
4n² = 2y²
Donde se tira que
y² = 2n²
Sendo assim, y também é par.
Se x e y são pares, então 2 é um divisor comum a ambos, afinal, todo número par é divisível por 2. Alto lá! Lembra da nossa condição, tomada como verdadeira ao definirmos 2* = a/b, de que o único divisor comum entre x e y era 1? Chegamos numa contradição, um absurdo lógico. Se x e y são pares, eles não podem ser primos entre si. E o que gerou essa contradição? Ela é o resultado de definirmos 2* como número racional x/y. Ou seja, não pode ser verdade que 2* é racional.
E assim provamos que raiz de 2 é um número irracional.